14 ENESTRÖM, UPPTÄCKTEN AF DEN EULE U SKA SUMMATIONSFORMELN, 



ordningsnummer n, och sätter summan af alla termerna, från 

 den första till och med t, lika med s, utgår från formeln 



ds dds d^s d*s 



Tdii~ 1 . 2dn^ "^ 1.2. Sdn' ~ 1.2.3. Un^ ' 



der dn antages konstant, samt anmärker, att denna formel kan 

 transformeras till följande 



ßdt ydH ödh 

 dn d-n? dn^ 



der koefficienterna a, /?, v, å, o. s. v. bestämmas genom formlerna 

 1 



2 6 ' 



y = ^—-ä + 



24' 



v_ z_ A ^ SL L 



" ~ 2 6 ^ 24 120' 



_ å y ß _a_ 1 



*"""2""~"6''^24~12Ü'^ 720' 



O. s. v., så att om de numeriska värdena af koefficienterna be- 

 räknas, formeln blir 



2 ' 12dn 120dn^ ' 302åOdn' 



En utförligare härledning meddelar Euler i afhandlingen In- 

 ventio summce cujitsque seriei ex dato termino generali, hvilken 

 trycktes tre år senare i samma akademis handlingar ^). Han 

 betecknar termerna i serien med A, B, C, D, o. s. v., låter X 

 vara den term, hvilkens ordningsnummer är x, samt sätter 

 A-vB-\-C+D + ...... + X = S. 



Då nu S tydligen är en funktion af a?, så öfvergår S, om man 

 i stället för x insätter x — 1, enligt Taylors serie till 



(;, ^ , ddS d}S_ 



Idx'^ 1.2.dx'' 1.2.2,.dx^ '^ 



Men å andra sidan blir detta värde af S just lika med summan 



af de X — 1 första termerna, d. v. s. S — X, hvaraf följer, att 



^ dS ddS , d\S 



^ ^= TI :; — ?rT~ö + 



Idx 1.2dx'^ 1.2.3dx^ 



') Se not. 7) ä föreg. sida. 



