68 GRÖNWALL, INTEGRALE ALGEBR. DIFFERENTIAL AUSDRÜCKE. 



Ehe ich auf den Gegenstand eingehe, werde ich an die 

 Definition der mehrfachen Integrale erinnern. ^) 

 Unter dem A-fachen Integral 



(1) J '"J 2^'. ' ■ ' '7 ^'^"i • • • '-^'^'";. ' 



wo v^ , . . . , Vi unter der Bedingung v^ <i v^ <. . . ■ <. vi die 

 Zahlen von 1 bis n durchlaufen, verstehen wir, wenn wir durch 



X-v = (pviU] , . . . , ?<;.) (v = \, ..., n). 



das Integrationsgebiet feststellen, das Integral 



auf eine Å-fache Mannigfaltigkeit im Gebiete der reellen Ver- 

 änderlichen Mj , . . . , ui erstreckt. Das Integral ist von der 

 Form dieser Mannigfaltigkeit abhängig; damit es aber von der 

 Einführung neuer Veränderlichen f, , . . . , vi statt m, , . . . , ui 

 ohne Änderung dieser Mannigfaltigkeit unabhängig sei, müssen 

 die Py, ,...,y^ gewissen Bedingungen genügen, deren expliciten 

 Ausdruck man im § 2 der genannten Arbeit des Herrn PoiNCARÉ 

 findet. 



Durch Einführune neuer Veränderlichen 



gehe (1) in 



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I . • • I ^'4u\, ■■, mi difjiy^ . . . dtui == 



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über. Also ist 



^ ^(Vi , • • • ^ tni) _y p ^{^v\ ^ ' • • 1 ^vi) 



^^^" •^^■^(ze,, ..., ^,,)-^^"-■ '"A diu,, ..., ui) 



Man hat aber 



') Vgl. PoiNCAKK, Sur les résidiis des integrales doubles, Acta math. Bd. 9. 



