194 BENDIXSON, EQUATIONS A SOLUTIONS PÉRIODIQUES. 



je me propose de montrer dans ce memoire le théoreme suivant: 



»Étant donnée une équation différentielle de la forme {1\ 



oü a, ß, a^, . . ., üq, 6j , . . ., bg, sont des nombres rationnels donnés, 



on peut toujours par un nombre ßni d'operations arithmétiques 



déterminer, si Véquation {T) a ses solutions périodiques ou non.» 



Pour plus de simplicité, je traiterai d'abord le cas ou /S = 0. 



L'equation (1) peut alors, a ['aide de théorémes bien connus 



de la trigonométrie, s'ecrire de la maniere suivante: 



(2) ^ + a;a Cos t = /(Sin t) + y(Sin t) Cos t 



f et (p étant des fonctions entieres rationnelles de Sin t dont le& 

 coefficients sont des fonctions entieres rationnelles a coefficients- 

 entiers des quantités a,,, b,,. 



Etudions maintenant Tintégrale de l'equation (2), que nous 

 écrivons sous la forme bien connue que voici 



a Sin t 



Je«sin/[y(Sin t) + (^(Sin t) Cos t]dt + C 



C désignant une constante arbitraire. 



L'integrale 



t 



Ce"^''''(p{Siu t) Cos t dt 



o 



representant évidemment une fonction périodique, il est evident 

 que x est une fonction périodique en méme teraps que l'integrale 

 suivante 



paSm«y(^Sin t)dt 



Mais pour que cette fonction soit une fonction périodique 

 de t, il faut que la fonction é"^*'^/(Sin t), développée en serie 

 de Fourier ait un terme constant egal å zéro, c'est-å-dire que 

 Ton ait 



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