196 BENDIXSON, EQUATIONS A SOLUTIONS PÉRIODIQUES. 



Supposons maintenant que Oj, . . ., a^, b^, . . ., bq soient des 

 norabres rationnels donnés. Alors A{a) et B{a) seront des 

 noinbres rationnels, quand a est un nonibre rationnel. 



Deux cas sont alors ä distinguer: 



1) II pourrait exister des valeurs rationnelles de a pour 



lesquelles ^r/ ait une valeur rationnelle, 

 V{a) 



II faudrait alors savoir déterrainer ces valeurs de a. Cela 



fait, on pourrait toujours déterminer si l'expression (4) est egale 



a zéro ou non. Car si la valeur de a appartenait å ces 



V'(a) 

 valeurs déterminees. il faudrait calculer -~-t et determiner si 



V{a) 



A{a) + B{a).^^^, 



s'annulle ou non. Si au contraire a n'appartenait pas a ces 

 valeurs, il faudrait, pour que l'expression (4) s'annulle, que A{a), 

 et JB{cc) s'annuUent tous les deux. 



Mais il serait extremement invraisemblable que l'on put 

 parvenir ä une détermination compléte de ces valeurs de «, et 

 si on n'y parvenait pas, on ne pourrait pas en general dé- 

 terminer si, pour des valeurs rationnelles données de a, a■^, . . ., 

 ttq, b^,..., bq, l'equation (2) a son integrale périodique ou non. 



2) II n'existe pas de valeur rationnelle de a pour laquelle 



V'(a) . , . „ 



,../ / ait une valeur rationnelle. 

 V{a) 



Dans ce cas on peut toujours déterminer si l'expression (4) 



s'annulle ou non pour une valeur rationnelle donnée de a. II 



faut en eflfet pour cela que les deux équations 



A(a) = Ol 

 B{a) = Oi 



soient satisfaites, ce dont on peut toujours s'assurer: 



C'est ce dernier cas 2) qui a iieu. 



V'(a) 

 La fonction „ , , ne peut en effet prendre une valeur ra- 



