20Ö BENDIXSON, EQÜATIONS A SOLUTIONS PÉRIODIQUES. 



En effet, s'il n'en était pas ainsi, il existerait toujours ud 

 nombre entier positif P tel que 



/^ == pour f.1 "^ P . 



Mais cela n'est évidemment pas possible, car on en tirerait 

 comrae une conséquence immédiate que l'integrale 



a 



(7) Ca{a^ — aYV{cc)G{a')da 







s'annullerait toujours, G désignant une fonction entiére ration- 

 nelle absolument arbitraire de a-. Et en désignant par &j, . . .,bg. 

 les zéros de la fonction V{a) situés entre et a, et en prenant 

 pour G{a^) la fonction suivante 



6{a^) = (.^--bl){c,'--bl)...{a^-bl) 

 on voit que la fonction sous le signe d'integration conserve tou- 

 jours le méme signe entre et a, ce qui met en évidence l'ini- 

 possibilité de notre supposition que I^ s'annuUe tant que ,a > P. 



Cela étant, soit 



n, 



a = — 



n 



un nombre rationnel, w, et n désignant des nombres entiers. 

 Supposons de plus que pour cette vaieur de a une relation 

 linéaire 



(8) pV'(a)~qV{a) = 



ait Heu, p et q étant des nombres entiers difFérents de zéro. 



Les deux fonctions V{a) et V'(a) ne pouvant s'annuller å 

 la fois, Selon un théoréme bien connu sur les integrales d'une 

 équation diflférentielle linéaire homogene, il faut que toutes ces 

 deux fonctions soient différentes de zéro. 



On aura alors 



a 



== M^ • V{a) 

 oii Mfj. est un nombre entier, les fonctions H et //, ne contenant 



en eflfet — qu'a la puissance u + 1 tout au plus. 

 n 



