ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1896, N:0 3. 201 



Mais d'apres ce que nous venons d'etablir, on sait qu'il 

 existe un nombre infini de valeurs «j , u^, . . . f.ix, . . . pour les- 

 quelles 



On aurait donc 



P' ^^^""^ fa{a'' — a^)n V{a)da 



>\n^)\ 



X = \, 2, ...n, ... 



"o 



ce qui est impossible, car le menibre gauche décroit vers zéro 

 quand I va en augmentant vers i'infini. 



J'ai donc établi qu'en supposant que p et q soient difFérent& 

 de zéro il n'existe pas de relation (8) entré V{a) et V'{a), tant 

 que a est un nombre rationnel. 



De la méme maniére on prouve qu'il n'existe pas de relation 

 V{a) = O ou V'{a) = O 

 si a est un nombre rationnelle. 



On est donc parvenu au théorerae suivant: 



Les constantes a, a^, . . ., a^, &j, . . ., b q, étant des nomhres 

 rationnels donnés, la condition nécessaire et sii^sante, pour que 

 l'wtég7'ale generale de Véquation (5) soit une fonction périodique^ 

 sexprime par les deux conditions que les fonctions entieres ra- 



tionnelles ä coeffi,cients rationnels de — , Aia) et B{a) de V équa- 



tion (4) s^anniillent toutes les deux. 



V'(a) 

 Pour etablir que la fonction „^ ^ ne peut prendre de& 



valeurs rationnelles pour aucune valeur rationnelle de a, on aurait 

 pu appliquer le beau théoréme de M. HuRWITZ sur les proprié- 

 tés arithmétiques des fonctions transcendantes définies par des 

 équations différentielles, ^) théoréme qui m'etait inconnu quand 

 j'ai donné cette demonstration, mais å l'aide duquel on établit 

 peut-étre plus aisément la propriété en question de la fonc- 



tion j^-^ . 

 V{a) 



') Voir HuRWiTZ »Ueber Arithmetische Eigenschaften gewisser transcendenten 

 Fnnctionen» Math. Annal. Tome XXXII. 



