202 BENDIXSON, EQUATIONS A SOLUTIONS PÉRIODIQUES. 



Je veux maintenant traiter l'equation (1), en supposant que 

 a et ß aient des valeurs rationelles qaelconques, et nous écrivons 

 å cet effet cette équation sous la forme suivante 



(9) -T- + a(a Cos t — ^ Sin t)a; — S [a^ Cos vt + hy Sin vt\ 



■y=0 



a et b désignant des nombres entiers. 

 On sait don c que 



~ t q 



x=e- «J^" si'i «+6 Cos t] Cgaia Sin t+b Cos t] . V («^ Cos vt + by Sin vt)dt + c 



.0 ^ = 



Pour que x soit une fonction périodique, il faut et il suffit 

 que 



271 q 



r^aia Sin t + b Cos q . y (^^y CoS Vt + by Sin Vt)dt = . 



v = 



Mettons 



V(a)--= TT- fe"^" ^^° '+* ^"^ '^ dt 



Y ^ Lala Sin t + b Cos «] , gi^ j,^ ^^^ 



Je veux d'abord montrer que toutes les fonctions F^i, Vy^ 

 s'expriment en fonctions linéaires de F, Fjj, Fjj dont les 



coefficients sont des fonctions entieres rationnelles de — et de 



a 



a, b. 



On a en effet 



jgala Sin <+& Cos «] gjn y^ ^^ ^ 

 = _ e«[a Sin < + 6 Cos <] ^^^ ^ « A,«[a Sin « + & Cos f\ (^qs V^fa CoS < — Z» Sin t\dt 



