204 BENDIXSON, EQUATIONS A SOLUTIONS PÉRIODIQUES. 



En appliquant les formules (10) et (11) on parvient donc 

 å réquation suivante 



( 27T q 



( =^(«)F(a) + 5(a)F'(a) 



oü les fonctions A{a) et -ß(a) sont des fonctions entieres ration- 



nelles de — dont les coet'ficients sont des fonctions entieres ra- 

 tt 



tionnelles ä coefficients entiers de a, b,-^ 7^ et des a^, . . ., a^, 



6,, . . ., bg. 



Mais la fonction V(a) satisfait å une équation différentielle 

 tout analügue a i'equation a laquelle satisfait la fonction F(a) 

 du paragraphe précédent. 



En effet 



V"(a) = ^/e"[« ^i° ^+^ ^°^ '^ [a- Sin H + 2ab Sin ^ Cos i + 6- Cos H']df 



ce qui nous donne 



V"(a) = (a2 + &2) F(a) — -^ A«[« ^m t+ö cos «] r^ Cos « — 6 Sin ^T-rfi^ 



=:(6«2 + 62)F(a)-~~|-^[6«t«si^'+^coso][aCos^-6Sin«](ii 

 



= {a^ + b^')V{a)-lv'{a). 



On voit donc que V(a) satisfait å I'equation différentielle 

 (13) aV"{a) + F'(«) - (a- + ^>-)aF(a) . 



En observant que 

 jF(a) V(a)äa= ^\^,j'^ ^ [« Vi.)}!. 



_1^ 



F(a) V'(a) — [i^Y«)- — -] V{a) +JjF V{a)da 



