296 GRÖNWALL, TOTALA DIFPERENTIALEKV. MED 2W-PERI0D. KOEFF. 



ningens form, och i § 4 bevisas, att beräkningen af densamma 

 fordrar ett ändligt antal algebraiska operationer. I afhandlingens 

 senare del tillämpas den allmänna teorin på ett exempel, som 

 är analost med den bekanta LAME'ska differentialekvationen. 



1. Vi framställa här nedan de viktigaste egenskaperna hos 

 2n-periodiska funktioner af rationel karakter. För bevisen hän- 

 visas till WiRTlNGER, Zur Theorie der 27i-fach periodischen Funk- 

 tionen I, ir, ^) där äfven fullständig litteraturförteckning finnes. 



Låt ett primitivt periodsystem till den 2n-periodiska funk- 

 tionen q)(Uj , . . . , Un) vara 



2wji , . . . , 2wi, o,j 

 (1) 



2Wnl , • • • , 2w,i, 2« 



så att, om m^ äro hela tal 



(2n 2n \ 



Mj + 2?w^ • 2wi^ , . . . , ?f„ + 2^.w 2w,;„ = cp(u^ , . . . , w„) 



och att omvändt hvarje period är af formen 



Pa = ^''^fi ' 2Wq.^ (a = l...n) 



Man kan antaga, att det icke är möjligt att bestämma m^ 

 så att samtliga Pq. bli oändligt små, ty i så fall skulle ^(u, , . . ., u,,) 

 kunna framställas såsom en funktion af w — 1 argument, som äro 

 lineära kombinationer af Wj , . . . , Un. 



För att det skall finnas funktioner af rationel karakter med 

 periodsystemet (1), är nödvändigt och tillräckligt att mellan 

 perioderna bestå relationer af formen 



2» 



(2) ^CßylO}ißt0^y = O (2,^ = 1. ..K) 



A 7=1 



') Monatshefte für Mathematik und Physik Jahrg. 6, 7. Wien 1895, 96. 



