298 GRÖNWALL, TOTALA DIFFERBNTIALEKV. MED 2n-PBRI0D. KOEFF. 



Genom att utföra lineära transformationer på variablerna 

 och på perioderna kunna relationerna mellan de senare reduceras 

 på formen 



n 

 7=1 



och den jACOBi'ska funktionen O öfvergår därvid i en Weier- 

 strassisk 0-funktion, som satisiierar likheterna 



n 

 m Z 2t]yß(u +o)yß) 



©(?/, + 2tOiß , . . . , Un + '2lOnß) = « y-l • ©(Mj , . . . , M„). 



Talet m kallas ©-funktionens ordning, och hvarje 0-funktiou 

 af ordningen m kan lineärt uttryckas i m'^ sådana funktioner. 

 2. Låt oss betrakta systemet 



(A) ' ' 



dz d"'-'^z 



1 (i = 2, ...,«) 



där koefficienterna p,^ äro 2??-periodiska funktioner med det pri- 

 mitiva periodsystemet 2(0aß, och låt oss söka vilkoren för att 

 lösningarne skola vara entydiga funktioner af rationel karakter. 

 Härför är först och främst nödigt, att alla ^j^ äro af ra- 

 tionel karakter; de kunna således skrifvas såsom kvoter mellan 

 jACOBl'ska funktioner. Uppdela de i nämnarne stående af dessa 

 i produkter af enkla JACOBi'ska funktioner, d. v. s. sådana som 

 ej själfva kunna uppdelas i produkter af JACOBi'ska funktioner; 

 denna uppdelning kan ') utföras medelst ett ändligt antal alge- 

 braiska operationer. Låt de så erhållna jACOBi'ska funktionerna 

 vara 

 (1) ^i(Mi , . . . , Un) , . . . , ^,.(«1 , . . . , u„) 



och uppdela en af dera d- i sina irreduktibla faktorer 



^ = ^1 • ^2 • • • 



där cpr äro hela funktioner. Likheterna 



') Frobenius, 1. c. pag. 217 och följande. (Generalisation af den Rietnannska 

 thetaformeln). 



