ÖPVBRSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1896, N:0 4. 299 



(2) ^1=0, ^2 = 0, ... 



gifva således ^-funktionens nollbilder. Nu är det klart, att 



(3) ^v(Mi + 2w, , . . . , Un + 2tOn) = O 



där 2w, , ... , 2tOn är en godtycklig period, äfven måste före- 

 komma bland dessa. Bilden (3) kalla vi kongruent med bilden 

 g)y = 0. A andra sidan innehåller (2) endast ett ändligt antal 

 inkongruenta bilder, ty annars skulle det finnas oändligt många 

 singulära bilder i ^-funktionens fundamentalområde, och dessa 

 bilder skulle då hafva minst en »gränsbild» inom området, hvilken 

 gränsbild då vore väsentligt singulär för vår hela funktion ^. 

 Betrakta bilderna (p^{u^ ,-••■, m„) = O och 



%{U^ + 2Wi« , . . . , Un + 2tüna) = 0. 



Om dessa hade en 2{n — l)-dimensional bild gemensam, 

 som ej vore identisk med ^1=0, då vore ^^ reduktibel; således 

 måste dessa båda bilder antingen sammanfalla, så att 



CPi{u^ + 2Wiß , . . . , Un + 2ti)na) = e''«^"" •■' "«^ • (p^(u^ , .... M„) 



eller också vara helt och hållet skilda. Antag, att det förra 

 inträffar föra = ß + l,...,2n och betrakta produkten 



Yl(fi{^h + 21^1 ^11 + • . . + 2vßC0yß , . . . , Un + 2v^C0nl + . . . + 2VßWnß) 

 för V^ ,..., Vß = — oo ,...,+ oo . 



Denna kan göras beständigt konvergent genom att till hvarje 

 faktor sätta en lämplig exponentialfaktor,^) och den så erhållna 

 hela funktionen \p^{u^, ... Un) har tydligen egenskapen att 

 ^j = O är identisk med sina kongruenta bilder, så att 



Genom att till \fj^ sätta en faktor é^C"''-'"«) kan den 

 alltså 2) öfverföras i en Jacobisk funktion. 



') Angående denna generalisation af en bekant Weierstrassisk sats om hela 

 funktioner se Biermann, Beitrag zur Theorie der eindeutigen analytischen 

 Functionen von mehreren Veränderlichen, Wiener Sitzungsber. 1884. 



^) Se Appell, Sur les fonctions periodiques de deux variables, Journ. de Math. 

 1891, 



