302 GRÖNWALL, TOTALA DIFFERENTIALEKV. MED 2n-PERI0D. KOEFF. 



och som tydligen äfven satisfierav (1); och genom att fortsätta 

 detta resonnemang erhålles slutligen en entydig lösning med 

 egenskapen 



(2) 5,(?/i + 2cOyß ,... ,Un + 2w,,ß) = (.Iß ' Z^(ll^ , . . . , Un) (ß = i...2ny 



hvilket bevisar satsen. 



Vid vårt speciella system (A) är det lätt att bestämma ett 

 analytiskt uttryck för denna multiplikatorfunktion. 



Låt nämligen -9- vara en Jacobisk funktion och sök att i 

 uttrycket 



&(u, — a, , . ... w,j — a„) , , , , 



^{U^ , . . . , Un) 



bestämma a^ , . . . , a„ , A, , . . . , A„ så att ?/ får multiplikato- 

 rerna /.iß. Detta leder till vissa lineära likheter, hvilka på. 

 grund af relationerna mellan perioderna ha en från noll skild 

 determinant. Kvoten mellan z^ och det så bestämda y är 2n- 

 periodisk, hvaraf följer att z^ kan framställas under formen 



(3) ~^i- 



1 /■ 



om (>j , . . . , Qr äro de mot z^ svarande exponenterna vid bilderna 

 ^j = O , . . . , ^, = O . 



Genom insättning af (3) i systemet (A) bestämmes lätt d-^'^K 

 Låt oss nu antaga, att vi bestämt samtliga lösningar till 

 (A), som äro multipiikatorfunktioner, och !åt dem vara 



Zj ^ . . . , Zy , (y^ m) 



För att finna formen pä de öfriga lösningarne, sätta vi 



emedan den logaritmiska derivaten af -j är 2?i-periodisk, följer 

 genom insättning i (.4) 



