304 GRÖNWALL, TOTALA DIFFERENTIALEKV. MED 27^-PERIOD. KOEFF. 



z(Ui + 2cOia + 2cüiß , . . . , tln + 2o)na + ^QJnß) 

 Z^{Uj^ + 2Wi« + 2Wi/J , . . . , M„ + 2tü„a + 2(x)nß) 



eller 



öfverensstämraa, d. v. s. (j.i ß — !)(?„=(«'„ — ^)(^ß- Häraf följer, 

 att 



- + -T- 



sora ju är en lösning till vårt system, är en multiplikatorfunk- 

 tion; den kan således lineärt uttryckas i z^, ..., Zy. Detta 

 antagande leder således ej till något nytt resultat. 



Är åter v en 2rt-periodisk funktion, så är det motsvarande 

 z produkten af en multiplikatorfunktion z^ och en entydig funk- 

 tion, hvars derivator i afseende pä ii^, ... w„ äro 2?2-periodiska. 

 Denna funktion benämna vi tillsvidare en integralfunktion af 

 första ordningen; det är omedelbart klart, att den icke är 2n- 

 periodisk. Genom att utföra samma betraktelse för z.-y, ..., Zy 

 komma vi till ett visst antal nya lineärt oberoende lösningar 

 till vårt system 



^r + 1 1 ■ • ■ : ~r' • (r' :< m) 



Om vi i ekvationerna (5) sätta 



d /l7 



w = — I — 



så få vi ett system af ordningen m — 2 för tv, och ur detta 

 härleda vi på samma sätt lösningar till (5) och af dessa nya 

 lösningar z, hvilka således verifiera en likhet af formen 



— ^— - ^— (^ ) = konstant. 

 1(7 j ou^ \u, ou^ \~j/ / 



Om vi fortgå på detta sätt, erhålla vi följande resultat: 

 lösningarne i ett fundamentalsystem till (A) kunna framställas 

 såsom produkter af multiplikatorfunktioner med integralfunktioner 

 af ordningarne 1, 2, .... Med en integralfunktion af v-te ord- 



