306 GRÖNWALL, TOTALA DIFFERENTIALEKV. MED 2n-PERI0D. KOEFF. 



Lat oss nu i stallet rör u. , .... m„, — ^-^ — , • • • , — ;; 



införa lineära kombinationer i;, , . . ., ua« af dem, bestämda genom 



egenskaperna 



O cc^S 



t'«(w, + 2cOiß , . . . , Un + 2co„ß) = ^ ^^ , 



sä kunna vi alltså skrifva 



Iy{u^ + 2iÜiß , . . . , Un + 2iO„ß) — Iy{u^ , . . . , Un) = 



(8) ^^ip) J., ^,;.,„ , ^_(;3) ,2, Un 





2?! 



där den första summan omfattar termerna af graden v — 1, och 

 den andra termer af lägre gradtal. 

 Emedan 



J,,("l + ^ff^l/" + 2Wi„ , . . . , Un + 2cOnß + 2w„«) = 

 /,,(Wi + 2cOia + 2tOiß , . . . , Un + 2w„„ + 2w„^) 



måste 



^y^l i(^«l + 2Wla , . . . , Un + 2Wna) — ^i*^ i(««l , • • • , «») = 

 ^,^.'Ü i(Wl + 2W]^^ , . . - , "„ + 2w„/5) — /J,"^ ^(Mi , . . . , Un) . 



Om koefficienterna i (8) uppfylla de liäraf betingade lik- 

 heterna, kunna vi finna /,. på följande sätt. 



Det ?/:te BernouUiska polynomet B„{cT) definieras som bekant 

 genom utvecklingen 



e^z — 1 



V' 



' _ 1 ■«-• ~" 



Bjiix) är af graden n + 1 och har egenskapen 



B„(,x -f l)-5„(.r-) = ^". 

 Sätta vi då 



(10) 7,,(«, , . . . , «,.) = 



sä satisfierar /,, relationen (8) för ii = 1. 



Skillnaden /;, — /,, blir således oförändrad, om v^ ökas med 

 ett. Den är således ett polynom i endast v.y, ..., ^2«, för 



