308 GRÖNWALL, TOTALA DIFFERENTIALEKV. MED 2n-PERI0D. KOEFF. 



algebraiska bilden (1) höra w lineärt oberoende integraler af första 

 slaget, nämligen just integralerna (3). En niultipiikatorfunktion 

 (p{Ui , . . . , Un) har sina logaritniiska derivator 2n-periodiska^ 



så. att 



hvaraf 



(4) <p 





d log cp -^ - 



k = l 



jR\dx\ + .. +Rn<JXn 



och om integralen uppdelas i integraler af första, andra och 

 tredje slaget, så kunna de af andra slaget icke uppträda, ty de 

 skulle medföra väsentliga singulariteter inom ändligt område för 

 (p{u^ , . . . , Un)- 



Den logaritniiska derivatan af en ^-funktion kan skrifvas 



och integralen är tydligen af andra slaget. 



Är nu z en lösning till (A), som är en niultipiikatorfunk- 

 tion, så finner man genom att i (2) för z insätta ett uttryck 

 af formen (4) ett system algebraiska differentialekvationer för 

 i^j, ..., Rn- Som man genom de determinerande ekvationerna 

 T. (27) kan bestämma gradtalen hos dessa rationella funktioner, 

 fordrar beräkningen af deras koefficienter endast lösningen af 

 ett ändligt antal algebraiska likheter. Dessa likheter äro tyd- 

 ligen af den natur, att de gifva oss alla de lösningar till {A) 

 som äro multiplikatorfunktioner. Härvid är att märka, att om 

 det existerar v multiplikatorfunktioner z^, ..., ^^- med samma 

 multiplikatorer, så finnes det en lösning som har dessa multi- 

 plikatorer och innehåller v — 1 väsentliga arbiträra konstanter, 

 nämligen 



(6) 6*jr, + . . . + CyZy . 



