312 GRÖNWALL, TOTALA DIFFERENTIALER V. MED 2J7-PERIOD. KOEFF. 



hvaraf följer att alla ki äro lika med — 2q och således, enär 



lösningen är entydig d. v. s. q ett helt tal: 



I ki = 2k 



^^^ \ Q:= — k, k helt tal 



kongruensen (2) blir då 



I do \^ 

 k{k + 1)^ + ö2,« = 0, mod6»„, 



= 6-(Uj , . . . , Un) • ßm 



där G är en hel funktion. 6t-funktionernas funktionallikhet ger då 



G(u^ + 2iüiß , . . . , Un + 2wnß) — e " • G{u^ , . . . , M«) — 



= k{k + l)e"'^Umriiß-~ + 4m-rj'J^ö„,j , 

 hvaraf synes, att om vi sätta 



du\ 

 så är Gy en ö-funktion af 7?i:te ordningen ö„j, och således 



6r(?/j , . . . , Un) = K^ + 1) ZTY + ^l(^l 5 • • • 7 M„) 



^21 — M/C + i; --^ 1- — . 



Insätt detta i den andra af ekvationerna (3) och beakta, 

 att dess determinerande kongruens har en rot = — -2^;, så finner 



man genom en analog räkning att ^ = konstant = B. 



Om man inför en ny beroende variabel Z ^=z- g— «2«2 — ■•• — ««%, 

 så får man för densamma ett system, där alla c, äro noll. An- 

 taga vi denna transformation redan utförd, så har vårt system 

 formen : 



iL) 



I öa^ \ ou^ I 



dz_ _ f^lnk dz 1 _^ Km/C 



du, ~ ö'* da, 2 du, \ö2* 



hvilket, som man ser, utgör en generalisation af den LAME'ska 

 ditferentialekvationen. 



