414 ENBSTRÖM, ETT PAR FORMLER INOM BEFOLKNINGSSTATISTIKEN. 



11 



o 1 —T 



I 1 — T 



00 



I I 



= ]c'ex--i{l — w^_i)W:^jJip^{t)dtdT 



00 



1 1 

 -k'ex-i(l — w^_-i)w^jjiiJ^{t + T — l)dtdT 



o 1— T 

 11 — T 



é^^ = k"exW^jj[l — i^)^{t + T)']dtdT 



00 



1 1 — T 



= I k"exiOx — k"exiOj: jj {i.)^{t 4- T)dtdx , 







där k' och k" äro bestämda genom ekvationerna 



11 1 ^^ 



T-, = 1 — Wx — ijjlpi{t + T)dtdx , 77/ = 1 — WjAjxp^it + x)dtdT . 

 ^ ^ 00 ' 



Men nu kan man visa, att slutresultatet blir tillräckligt 

 nöjaktigt, om man betraktar Wx — \ och Wj. såsom försvinnande 

 små kvantiteter i förhållande till 1, och om man genast be- 

 gagnar sig af den utväg till kalkylens förenkling, som härigenom 

 erbjudes, kan man sätta 1 i st. f. hvar och en af kvantiteterna 

 1 — tf^ — 1, k\ k!'. Substituera vi på samma gång t i stället 

 för t + T — 1 i uttrycket för d^^^^^ och i stället för t + v \ 

 uttrycket för d''^~^\ samt observera vi, att 

 1 1 



jj lp^(t)dtdT = «j; , 



00 



blir 



1 T 



d^^~^^ ^ a^e^^iWj, — e:c~\iOxjjipJt)dtdT 



o o 

 1 1 



d^f = le^io,r. — e^Wj,jjifi^{t)dtdT 



o T 



1 T 



= I exWx — cc^e^iv,: + jj\li^{i)dtdT . 



