ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1896, N:0 8. 589 



stimmten, den obigen Bedingungen vollständig erfüllenden «-Reihe, 

 und also zu einer bestimmten Grenzstelle x = ^, für welche ja 

 (19) gilt, und also /'(^) = oo ist. Und ^ ist mit Sicherheit eine 

 secundäre Stelle; denn das Verfahren ist ja so eingerichtet, dass 

 Wo + i — Wo immer >1 ist, m. a. W. dass e„ und e„ + i niemals 

 beide >0 sind; die e-Reihe besteht somit aus Nullen und iso- 

 lirten Gliedern > (welche anderseits niemals völlig aufhören); 

 hieraus folgt, dass ^ secundär ist; denn dies ist immer der Fall, 

 sobald es nur gilt, dass sowohl Nullen als positive Glieder niemals 

 aufhören (also Aveder o;',^. noch «,i. constant wird). 



Hiermit ist also dargethan, dass secundäre ^ mit /'(ct) = oo 

 überhaupt existiren. Es ergiebt sich nun auch leicht, dass sie eine 

 nicht-abzählbare Menge bilden. Man modificire nämlich das oben 

 beschriebene Verfahren dadurch, dass man bei jedem Schritte das 

 dritte anstatt das zweite mögliche n,, nimmt, so dass ?i„ + i — iio 

 sogar > 2 ist. Man gelangt hierdurch offenbar zu einer anderen 

 secundären x mit f\x) = co. Ferner kann man auch alrwechselnd 

 das zweite und das dritte mögliche tif, wählen. Die Gesauimtheit 

 aller so entstehenden e- Reihen ist eine nicht-abzählbare Menge; 

 denn sie entspricht eindeutig der Gesammtheit aller unendlichen 

 Reihen, deren Glieder abwechselnd = 2 und = 3 sind, mit völlig 

 beliebiger Vertheilung, oder im allgemeinen abwechselnd := a und 

 = b, also auch der Gesammtheit aller Zahlen, welche in der Form 



(22) | + ii + i+- • •+!+■ ■ ■ 



darstellbar sind, wo die otj abwechselnd = und = 1 sind, d. h. 

 aller reelen Zahlen zwischen und 1.^) Anderseits werden ja die 

 .-K-Werthe, welche verschiedenen g-Reihen entsprechen, immer 

 verschieden (wenn die Reihen den obigen Bedingungen genügen); 

 also sind auch die fraglichen A'-Werthe nicht-abzählbar: f'{.v) 

 Avird = CO, für eine nicht-abzählbare secundäre .«-Menge. 



Dass dieselbe Menge auch überalldicht ist, ergiebt sich leicht. 

 Man kann nämlich das beschriebene Verfahren so verändern. 



') Vgl. übrigens Cantor, Jahresbericht der deutschen Mathematiker- Verein, I. 



