590 BRODÉN, ÜEBER DAS CONDENSATIONSVERFAHREN. 



dass nian zuerst eine gewisse Anzahl von e^^-Werthen von e, an 

 so wählt, dass ^^ irgend eine gegebene primäre Stelle wird; nach- 

 her kann man ^„ + i und ^„ + 2 so wählen, dass ^'^ + 2 — ^? < ^i^ 

 beliebig kleines d wird, und dann auf die obige Weise fortsetzen; 

 man erhält dann ein ^ mit ^ — ^„<iö] da es also beliebig nahe 

 an einer beliebigen primären Stelle secundäre x mit f'(x) = <=^ 

 giebt, und die primären Stellen überalldicht sind, so folgt, dass 

 auch die fraglichen secundären Stellen eine überalldichte Menge 

 bilden. (Selbstverständlich muss man übrigens niemals das oben 

 beschriebene Verfahren genau folgen, sondern kann es auf man- 

 nigfache Weise modificiren.) 



Wir haben also das oben ausgesprochene Theorem vollständig 

 bewiesen. Dasselbe involvirt die Unmöglichkeit, bei der jetztigen 

 Anwendung des fraglichen Condensationsprincips eine Function 

 zu bekommen, welche nur an der primären Stellen die zu con- 

 densirende Singularität besitzt [/'(•*) = °°]- Selbstverständlich 

 ist doch mit dem Vorigen nicht nachgewiesen, dass /'(•»), sei es 

 an ihren primären oder an ihren secundären Stellen, auf ganz 

 dieselbe Art unendlich wird, wie (p'{x) für .^' = 0. ^) 



Die Stellen, wo /'(•^) nicht unendlich gross ist, müssen jeden- 

 falls auch eine nicht-abzählbare Menge bilden. 2) Es gilt wenig- 

 stens unter gewissen Voraussetzungen, dass /'(i-c) an diesen Stellen 

 überall einen völlig bestimmten positiven Werth hat, wie im 

 Folgenden nachgewiesen wird. 



4. Da f'{x) mit f]{x) unendlich gross wird, muss es eine 

 nicht abzählbare A'-Menge geben, für welche /,(.«) nicht divergirt 

 und also, weil alle Glieder positiv sind, einen bestimmten end- 

 lichen Werth hat. Es sei ^ eine solche Stelle, und /j(^) — k. 

 Es ist mit Sicherheit auch /'(^) = ^, wenn die Reihe 



CO 



VI 



cp(^ + ö — w„) — cp(e, — W„) 



/ A d 



n= i 



oder, was in unserem Falle dasselbe ist, die Reihe 



1) Vgl. LÜROTH und SCH£PP, p. 195—197. 

 ^) S. LÜROTH und SCHEPP, p. 97- — 98. 



