ÖFVERSIGT AF K. VETBNSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1896, N:0 8. 591 



CO 



(23) . . . V^ y(^ + ^ ~ ^^^) ~ ^(^ ~ ^'^») 



w = 1 



für numerisch hinreichend kleine (5-Werthe gleichnässig conver- 

 girt. * Und diese gleichmässige Convergenz findet in der That 

 für alle d statt (bei denen < ^ + (5 < 1 ist), wenn die Kurve 

 y — q){x) [für — 1 < .'<^ < + 1] die Eigenschaft hat, dass der 

 Richtungscoefficient der Verbiiidungslinie zweier beliebiger reeler 

 Ivurvenpunkte {x-^y-^ und {x^'i/'^ in endlichbleibendem Verhältniss 

 zum Richtungscoefficienten der Tangente in {x^y^) oder {A\y^) 

 steht, m. a. W. wenn der (immer positive) Quotient 



(24) — — : ^'("^'i) <^ ^^"® endliche Grösse A 



bleibt. Diese Eigenschaft giebt nämlich, auf die Glieder von (23) 

 übergeführt, dass für alle in Frage kommenden d 



(25). . c. 1^^ + ^ - '""]. - f<^ - '"■) < AcM^ - »„) . 

 ist, und hieraus folgt, da 



CO 



(26) ^ÄCn(p'{§—Cün) 



1 



convergent ist, dass die Reihe (23) [bei constantem § und ver- 

 änderlichem å~\ gleichmässig convergirt. 



Die Bedingung (24) ist in der That immer erfüllt, wenn die 

 Singularität von y = (f>{x) in Origo algebraischer Apatier ist, d. h. 

 wenn die Coordinaten in der Nähe von w := y = sich in der 

 Form 



<'27^ f«/=«^' ]p, q ganze unger. 



^"^'^ ■ • ■ |.t; = Joa*+^ja'?+i + ^oa'^+2+ .. .(Zahlen >0, p<g 



darstellen lassen (also speciell wenn (p{x) eine algebraische Func- 

 tion ist). Dies ergiebt sich folgendermassen. Zufolge unserer 

 Annahmen ist q)'{x) zwischen — 1 und + 1, sowie auch mi den 

 Grenzen, > und mit Ausnahme für x = auch endlich. Hier- 



^) S. DiNi oder Lüroth und Schepp § 100. 



