ÖFVEKSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1896, N:0 8. 595 



wird. Es sei ferner w^ . . . w„ . . . eine abzählbare und im 

 ganzen ^--Gebiete überalldichte Werthmenge, und Cj + C2+ . . . 

 eine convergente Reihe positiver Grössen. 



Die Reihe (3) wird dann im ganzen .r-Gebiete gleichmässig 

 convergent, da der numerische Werth von q)(x — co,i) eine end- 

 liche obere Grenze hat. Die Function f(,x) ist somit durchaus 

 stetig. Sie bleibt auch zwischen endlichen Grenzen: wenn die 

 grössere der beiden Grössen |^(+ co) | und \(p{ — oo) | mit G be- 

 zeichnet wird, so ist G obere Grenze für \q){x — w„)|, und 

 1/(^)1 ist daher immer < GiCn. Wie oben ist auch/(.'c) durch- 

 aus mit x zunehmend. Wörtlich wie oben zeigt man ferner, 

 dass /'(•*') nicht nur an den primären Stellen, sondern auch für 

 eine nicht-abzählbare, überalldichte secundäre .27-Menge unendlich 

 gross wird. An den übrigen secundären Stellen hat auch nun 

 {'(x) einen bestimmten Werth = /i(a'), wenn die Bedingung (24) 

 für alle (a'i?/]) und (.ro^/o) erfüllt ist. Aber der obige Beweis, 

 dass dies der Fall ist, sobald die Singularität in Origo algebrai- 

 scher Natur ist, reicht nicht länger hin: da cp'{+ co) und (p'( — cx>) 

 gleich Null sind, ist es ja a priori denkbar, dass der Quotient 

 (24) mit .v^ unendlich gross werden kann. Dass dies in der That 

 eintrifft, wenn x^ endlich bleibt, ist ziemlich leicht zu finden. 

 Aber wir erinnern uns, dass es für die Gleichheit von /'(b) und 

 /j(^) hinreichend ist, wenn die Reihe (23) in einer beliebig kleineu 

 Umgebung des (5-Werthes Null gleichmässig convergirt; und dies 

 findet statt, wenn die Bedingung (24) erfüllt ist, sobald | ^'2 — a;^ [ 

 eine gewisse endliche Grenze nicht übersteigt. Und dies trifft 

 in unserem jetztigen Falle ein, sobald der Quotient (24) endlich 

 bleibt, wenn w^ und w^ derart beide unendlich gross werden, dass 

 \x^ — x^\ unterhalb einer endlichen Grenze bleibt. Es seien 

 z. B. d^j und w., beide positiv, und x^ '^ x^. Zufolge der obigen 

 Annahmen über (f{x) und cp'{x) hat man bekanntlich 



(37) J^ ^ = y'[.f2 + ö(.-,-.r2)], 



WO ß einen positiven echten Bruch bedeutet. Es soll also 



