596 BRODÉN, UEBER DAS CONDENSATIONSVERFAHREN. 



(ob) hm ^ ^ ■^ -^- éZA — iiiH -\~- 



endlich sein. Dass dies wenigstens bei algebraischer Natur des 

 unendlichen Zweiges immer stattfindet, ist leicht zu finden. Der 

 in Frage kommende »Halbzweig» lässt sich dann in der Form 



(39) x=— , y^h — ai^A + aP{a)\ {A > 0, P(a) =Dignitätsreihe) 



darstellen, wo a positive Werthe anninmit. Dies giebt (für 

 hinreichend grosse Werthe von ä', und z) 



(*o) "■"Ü-'-ir' 



wenn die Abscissen x^ und z den a-Werthen «j und ß ent- 

 sprechen. Da ferner x^ — x^ und also auch x^ — z, d. h. 

 — ^ endlich bleibt, so sind offenbar /i und a, unendlich klein 



von derselben Ordnung, und folglich der Grenzwerth (40) endlich. 

 — Analog für x^ > x^ und auf der negativen Seite. 



Ein einfaches Beispiel einer Function ^.{x.) der jetzt frag- 

 lichen Art ist das folgende. Die Gleichung 



(41) y\oc + y) = X 



hat für alle reelen x eine und nur eine reele ^/-Wurzel y-^ zwi- 

 schen — 1 und + 1. Die Funktion q){x) = y^ erfüllt die obigen 

 Bedingungen. 



Ein anderes Beispiel: die Hyperbelgleichung 



(42) y{x + a) = x 



hat für positive x eine und nur eine Wurzel y^ zwischen und 

 1 ;, man setze für positive x q){x) = ?/, , und definire für negative 

 X die Function q)(x) durch die Gleichung cf{ — x) = —q)(x). 

 Die hierbei in Origo entstehende Singularität ist, als aus Be- 

 standtheilen zweier Kurven zusammengesetzt, nicht im obigen 

 Sinne als »algebraisch» zu bezeichnen; dies beeinschränkt doch 

 nicht die Gültigkeit der Gleichung /'(.^;) =/i(.r), wie man mit 

 Leichtigkeit finden kann. 



