ÖFVERSIGT AF K. VETBNSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1 896, N:0 8. 597 



6. Wir haben bisher angenommen, dass die Function q)(a;) 

 zwischen endlichen Grenzen bleibt. Wenn man, unter Beibehal- 

 tung der übrigen Annahmen, q(+ oo)= + oo und q)( — co) = — oo 

 sein lässt, so gilt es nicht länger, dass die Reihe (3) immer mit 

 (2) convergirt. Doch kann man immer die Grössen c„ so wählen, 

 dass (3) innerhalb jedes (beliebig grossen) endlichen Intervalles 

 gleichmässig convergirt. Selbstverständlich nehmen wir hierbei 

 auch an, dass die Menge (1) sich über das ganze reele Gebiet 

 erstreckt, da das Verhalten von q)(x) für ^ = + oo sonst ohne 

 Bedeutung wird. 



Es bedeute a„ die (algebraisch) grösste, und 6„ die kleinste 

 der n Zahlen Wj . . . w„ (so dass lima„= + co, lim6„ = — oo 

 ist). Man setze die Differenz a„ — 6„ = Z>„. Die numerisch 

 grösste der beiden Grössen cp{Dn) und q){ — Z>„) habe den abso- 

 luten Werth Mn- Wenn ein endliches (prim. od. secund.) x 

 gegeben ist, so muss für ein gewisses n und alle grösseren 

 «n > •» > ^w sein, also \x — w„|<i?„, und folglich, da q){x) 

 mit X durchaus wächst, \q){x — w„)|<ilf„. Für den fraglichen 

 .^'-Werth ist also die Reihe (3) unbedingt convergent, wenn die 

 Reihe 



00 



(43) ' 2^,A/„ 



1 



convergirt, also wenn die c„ so bestimmt werden, dass für alle n 

 (44) Cn"^ -TT- "kn {"kn eine endlichbleibende Grösse) 



ist, wo die &„ beliebige positive Grössen sind, welche eine 

 convergente Reihe bilden. Und da x beliebig war, so folgt 

 die Convergenz von (3) für alle endlichen x. Man betrachte 

 ferner ein beliebiges endliches ^-Intervall 1. Für ein gewisses 

 n = Wj und alle grösseren fällt I ganz innerhalb des Gebietes 

 bn . . . a„, und es wird somit für ein beliebiges zu / gehö- 

 rendes X I (p{x — tOn) I < Mn, woraus folgt 



(45) I 2i(^n(pix W«) I < ^CnMn . 



n = n-i n = ti] 



Öfvers. af K. Vet.-Akad. Förh. 1896. Arg. 53. N:o 8. 2 



