602 BRODÉN, ÜBBER DAS CONDENSATIONSVERFAHREN. 



gewissen x-Werthen, welche keine Häufiingsstellen haben, beliebig 

 g^'oss wird und bei Substitution eben dieser Werthe keinpu end- 

 liehen Werth annimmt; und die Gesammtheit Q dieser Mengen 

 (welche gemeinsame Werthe haben können, oder nicht) sei im. 

 ganzen Intervalle condensirt (überalldichi); 



dann loird die Reihe unendlich gross, nicht nur für die 

 {offenbar abzahlbare^ x-Menge £2, sondern auch für eine andere, 

 welche sowohl überalldicht als auch nicht- ab zählbar ist. 



Selbstverständlich kann es hierbei eintreffen, dass wenigstens 

 für gewisse ^-Strecken die Eeihe überall unendlich wird und also 

 keine Function definirt. Unter welchen Bedingungen dies riicht 

 eintrifft, ist hier nicht die Stelle, näher zu untersuchen. 



Ein Beispiel einer Reihe der nun fraglichen Art ist die von 

 Hankel, Math. Ann. XX, p. 107 — 108 betrachtete: 



(60) . . . . . ... /^ ^^^^-Sl^ -^si (0 < w < 1). 



CO" 



(71 sin uTtxy- 



Die Menge 12 ist hier die Gesammtheit der rationalen Zahlen; 

 Mittels Anwendung von Kettenbruchentwickelung zeigt Hankel^ 

 dass die Reihe für eine überalldichte irrationale .f-Menge con- 

 vergirt, und für eine andere derartige Menge divergirt — führt 

 aber aus Mangel an Raum den Beweis nicht vollständig aus. 

 Die Existenz einer überalldichten und nicht-abzählbaren Menge 

 von Unendlichkeitsstellen ergiebt sich unmittelbar aus der obigen 

 einfacheren, obgleich mehr genenerellen Betrachtungen. Und 

 mittels derartigen Betrachtungen lässi sich in der That auch 

 Zeigen, dass die Reihe (60) und andere ähnliche für eine überall- 

 dichte, nicht-abzählbare Menge von .2?-Werthen convergirt (im 

 § 3 war ja ein directer Beweis hierfür überflüssig). 



