82 BENDIXSON, ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE LINÉAIRE. 



Le cas ou a=b = i a pourtaiit été étudié par M. PoiNCARÉ 

 dans un chapitre de son traité »Sur les courbes définies par une 

 équation différentielle». ^) 



Par un procédé analogae a celui euiployé par M. PoiNCARÉ 

 je suis parvenu å un développement de Tintégrale de 1, valable 



au voisinages de x=0, ^=0, dans le cas ou y est un nombre 



positit' quelconque. 



Sans nulre å la généralité on peut éviderament supposer 

 que les quantités a et b sont réels et positifs. 



En mettant cdors 



j,bya — ga + b^ log— =?< 



y 



rintégrale generale de Vequation (1) peut étre écrite sous la 

 forme suivante 



(2) Q + Q^P^iu) + . . . + Q"Py{u) + ...=K. 



Les Fj, sont des series procédant suivant les puissances entieres 

 et positives de u, convergentes pour toute valeur de ii. 



La serie (2) est convergente pour toutes les valeurs de q 

 et de u satisfaisant å 



\q\<Ö \u\<G. 



G étant un nornbre positif aussi grand que Von voudra et 

 å un autre nombre positif qui dépend de G et décroit vers zéro 

 quatul G va en croissant vers Vinßni. 



Afin d'etablir la formule (2), nous écrivons Téquation diffé- 

 rentielle (1) sous la forme d'un Systeme d'equations 

 dx 





Tt^ 



ax 



— X 





dt 



— 



by-Y. 



En mettant 









X = 



= Qe»" ; 





y^ge-'" 



1) Journal de Math. Tome I, 1885, pages 172—193. 



