84 BENDIXSON, ÉQUATION DIFPÉRENTIELLE LINÉAIRE. 



du 



= ^2 



dP, 

 du 



= 2P^ljJ, + 1/^3 



dP, 



du 



= 3^31/^2 + '2P^_ip^ + i/^4 



les constantes d'integration étant déterminées de sorte que Py^=0 

 pour ?< = 0. Afin de déterminer le doniaine de convergence de 

 la serie (4) nous la comparons ä une autre serie formée de la 

 iiianiere suivante. 



Ayant fixe un nombre positif G aussi grand que Ton voudra, 

 on peut toujours déterminer un nombre positif M tel que les 

 coefficients des diverses puissances de q dans «S et T restent en 

 valeur absolue interieurs a M, tant que | ?« | < 6r- 



Formons ensuite 







^1 



M 



dq) 



dep 



(/ 



1 — Q 



da 



dQ 



1- 



Mq 



1 — Q 





dep 





Q^'M 



dQ 1 — q(M + 1) 

 et écrivons cette équation sous la forme suivante: 



ce que Ton pourra faire tant que | ^ | •< -tt ^ • On sait alors 



que Ky est positif et plus grand que \ipy\ tant que | w | < (t. 

 En désignant par ^^cp Topération eflfectuée sur cp dans le 

 second membre de Téquation (5), on sait que la serie 



(6) Q + UJ^Q + -J^Q + ... + -J^Q + ... 



est convergente pour des valeurs suffisamment petites de q et 

 de u 



et qu'elle satisfait a Téquation (5). 



