86 BENDIXSON, ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE LINÉAIRE. 



En continuant ainsi on établit enfin que Tinégalité (7) sub- 

 siste pour toute valeur de v. 



Il s'en suit que la serie (4) qui n'est autre chose que le 

 développeinent (2) que nous nous sommes proposé d'etablir est 

 absolument convergente pour les meines valeurs des variables 

 que la serie (6 b) c'est å dire pour 



c. q. f. d. 

 Dans le cas special ou -r est un nonibre rationnel, on peut 



supposer que a et 6 soient des nombres entiers premiers entré eux. 



Il est alors evident qu'il existe des cas ou Tintégrale generale 

 de réquation (1) peut étre développée en serie procédant suivant 

 les puissances entiéres positives de a; et ?/. 



Ces cas d'exception sont d'une importance capitale, notam- 

 ment quand il s'agit de déterminer si Tintégrale generale de 

 réquation (1) peut s'ecrire 



F = const. 



F étant une fraction rationnelle. 



Nous voulons raaintenant déterminer les conditions néces- 

 saires et süffisantes pour que Tintégrale generale puisse étre 

 développée en serie procédant suivant les puissances entiéres 

 positives de x et de y. Puisque Pintégrale generale satisfait a 



(8) |(„._X) + J(-6y-y) = 



il est evident que le développement de q) doit commencer par 

 un terme {x^y'^y. 



Mettons donc y = 1 et 



(p = a;i>y» + 2 C^fj^X^Y 



(9) v + iJ. = a + b + \ 



= <jPa + 6 + (fa + h+l + . . . + (fa + b + v + • • • 



(fa+b+v étant homogene de degré a + 6 + f en ^ et en y. 



