ÖFVERSIGT AP K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1895, N:0 2. 89 



I. Le prodiiit cfune fonction Ea{u) de classe a et d'une 

 fonction Eß{ii) de classe ß est egale ä une fonction Ea+ß(u) de 

 classe a + ß. 



II. On aura 



eJu + -^^l^ = Ea{u)e-^^ 



Ce dernier théorérae est une conséquence imraédiate de 

 réquation 



[2jii "1 r 2711 ~] 

 u+ — -l\ [(v+M)a — M(a + 6)] M+ X\ 



a + b J :=; g L a + b J 



27rt" . 

 (va — ub)u ; • aÅa 



= e -""-'■ 



oa + b 



III. üne fonction Ea{u) de classe a ne peut contenir de 

 terme constant que dans le cas oü a est divisible par (a + h). 



IV. Chague fonction de la classe a peut séc7'-ire comme 

 tine fonction de la classe a + b + a. 



On sait en efFet que 



ß(ra — f.ib)u -—. ß[{r' + b)a — (^ + a)6]« 



c. q. f. d. 



Par le théoreme de la page 82 on sait que l'equation (11) 

 possede une integrale cp de la forme (4). Elle a donc aussi qp''^* 

 pour integrale. 



Cette integrale peut évidemment étre développée en serie 

 de la forme 



(12) Q'' + ^ + ^« + * + l^, + . . . + Q'' + '' + ^Zy + ... 



2], . . ., Zy . . . désignant des series procédant suivant les puis- 

 sances entiéres positives et s'annullant pour u = 0. On sait de 

 plus que cette serie est convergente pour les mémes valeurs de 

 Q et u que la serie (4). 



Öfvers. af K. Vet.-Akad. Förh. 1895. Arg. 52. N:o 2. 3 



