90 BENDIXSON, ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE LINÉAIRE. 



Les fonctions Zy satisfont alors aux equations suivantes 



dz 



"■ = z^{a + 6 + l)i/^2 + (« + ^)H>3 



dz 



du 

 (13) ' du 



-p- =Zy-i{a + h + v — l)j/;2 + ^y_2(a + 6 + v — 2)j/;3 + ... 



+ (a + 6)i/^y+i 



oii Ton a de plus déterminé les constantes d'integration de teile 

 maniére que Sy = O pour m = 0. 



Si, au contraire, on forme la serie 



^a + b ^ pa + ö + l^^ + . . . + ^« + ^ + »'2^ . . . 



ou 2j . . . ^v sont des fonctions quelconques, satisfaisant aux equa- 

 tions (13), on sait que cette serie satisfait formellement å Téqua- 

 tion (11), mais on ne peut étre sur de la convergence de la 

 serie. 



En observant maintenant que xpy est une fonction Ey_i{u) 

 de la classe v — 1, on voit aisément que Ton peut effectuer 

 rintégration de teile nianiere que z^ soit une fonction de la 

 premiére classe. 



Cela fait, on peut déterminer Z2 de maniere qu'elle soit une 

 fonction de la classe 2. 



En continuant ainsi, on peut déterminer Zy de maniére 

 qu'elle soit une fonction de la classe v, tant que v <i a + b. 



Les fonctions z^, z^, ... Za+b — i seront complétement dé- 

 terminées par ces conditions. 



Mais on ne peut pas en general déterminer la fonction Za+b 

 de maniére qu'elle soit une fonction de classe a + b. Cela tient 

 å ce que la fonction 



^a+6-i(2(a + b) — l)ip^ + . .. + (a + b)ipa+b+i 



