ÖFVERSIÖT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1895, N:0 2. 91 



est une fonction de classe (a + b). Elle contiendra donc en 

 general un terme constant, lequel apres Tintégration introduira 

 en Za+b un terrae de la forme cu. On en conclut que les fonc- 

 tions z.y ne seront pas en general des fonctions de classe v. 



Mais, en désignant par (p{x, y)a+b+v la somme des termes 

 de dimension a + h + v dans la serie (9), il est evident qu'apres 

 la Substitution x = ^e<*", y = Qe~ ^", on aura 



(fa + ö + ri^V, y) = Q'^ + ^-^^Fy 



011 les fonctions Fy satisfont aux équations (13) et Fy sera de la 

 classe a + b + v. 



Il s'en suit que, s'il est possible de satisfaire a Téquation 

 (8) avec une serie de la forme (9), il sera possible de satisfaire 

 au Systeme d'equations (13) avec des fonctions Zy de la classe 

 a + b + v. 



Inversement, s'il est possible de satisfaire au Systeme (13) 

 avec des fonctions Zy de la classe a + b + v, il sera possible de 

 satisfaire a Féquation (8) avec une serie de la forme (9). 



En supposant, comme nous l'avons fait ci-dessus, que les 

 équations (10) soient satisfaites, il s'en suit donc qu'on peut 

 satisfaire aux équations (13) avec des fonctions Zy de la classe 

 a + b + v. Entré ces fonctions Zy et Zy les équations suivantes 

 auront alors lieu: 



2i = Cl + z^ 



z^ == c^ + C-yE^{u) + ^2 



4 = ^'3 + ^2^J(^<) + 'h ^li^Ö + -3 



Zy = Cy + Cy-IE'^{U) + . . . + C^El_^{u) + Zy 



oii Cj, ^2, ... Cy, ... sont des constantes d'integration et les 



fonctions E^^{u) sont des fonctions de la classe A. 



„ , 27ti 



(Jn aura donc, en mettant r = to, 



' a + b 



Zy(u + aw)=Cy + Cy _ i£[(u)é'^"" + . . . + Cl £;^_^(M)e'^««(»'- ^) + Zye'^»"" 



