ce qui nous donne 



a + 6 — 1 



a + h ^^ 



92 BENDIXSON, ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE LINÉAIRB. 



i nous donne 



00 



a = 



En mettant 



on aura donc 



a + 6 — 1 



(12WS) 



a = 

 + ^^(«-l^a+ö + Ca + J + . ■ • + ^" + * + '{^v + Q + ^K- («4-6/^0 +••■] + ••• 



Les series du membre gauche sont absolunient convergentes 

 tant que [ ^ | < (^\ \u\<G — l7i, d'oü l'on conclut que la serie 

 du nierabre droit est aussi absolument convergente. Mais par la 

 Substitution 



u + «w = V 

 les fonctions ^iaS(^i, y) et QiT{q^, v) se transforment en qS{q, u), 

 qT{q, u), S et T désignant les memes fonctions que dans Téqua- 

 tion (11). 



Il est donc evident que toutes les fonctions cp{Qe-'^''", u + aw) 

 satisfont a Téquation (11), d'oü Ton conclut enfin que notre serie 

 (12'''^) satisfait å 1'équation (11). On voit, en outre, que le 

 coefficient de ^a+&+'' dans cette serie peut s'ecrire comme une 

 fonction E de la classe a + b + v. 



En introduisant de nouveau les variables ^i- et y par la 

 Substitution x = ge"", y = Qe-^", la serie se transforme enfin en 

 une serie de la forme (9). Cette serie sera évidemment absolu- 

 ment convergente au voisinage de ^ = O, ?/ = 0. 



Nous sommes donc parvenu au resultat suivant: 



^La condition nécessaire et süffisante pour quil existe une 

 serie de la forme 



