ÖFVEKSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1895, N:0 2. 93 



satisfaisant ä Véquation (8), et convergente pour des valeurs 

 suffisamment petites de x et y, c est que les équations 



H,a,ro{C.ß)=^0 V = 2, 3, ... 



de la page 87 auront lieu:» 



Dans le cas, ou il n'existe pas de fonction de la forme (9), 

 011 peut aussi prouver qu'il n'existe pas non plus de serie, satis- 

 faisant å (8), et de la forme 



v+ii = y{a + b) + \ 



OU y est un nombre entier. 



En mettant a- = pe«", y — ge-^'', cette serie peut en effet 

 s'ecrire 



f = Q<.a + b)y 4. ^(a + ^y + l^j 4. . . . + Q(a + b)y + Vz^ + . . . 

 1 



Alors fy satisfait aussi å Téquation (11). 



Mais on peut écrire 



i 1 



fr ^ Q<^+\\ + ^^j + . . . + Q^zy + ...)'' 



ou les fonctions z'y satisfont au Systeme (13). Ces fonctions ne 

 contenant pas de terme en ?«, il s'en suit que z'y sera une fonc- 

 tion de la classe v, et tous les coefficients de l'expression 



00 



peuvent alors étre déterminés, de sorte que la serie satisfasse ä 



réquation (8). 



Nous pouvons donc énoncer le théoréme suivant: 



La condition néces.saire et sufßsante pour que IHntégrale 



generale de réquation (1) suit de la forme 



q) = const. 



0Ü (f est une fonction holomorphe de x et y, au voisinage de 



.r = O, ?/ = O, c est que les équations 



Hya,yb{C,ß) = »' = 2, 3, ... 



auront lieu. 



