94 BENDIXSON, ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE LINÉAIRE. 



Il sera en general extrémement difficile de reconnaitre si 

 toutes les équations 



tjva,vb\^aß) = 'J j' = 2, 3... 



en nombre infini, sont satisfaites ou non. Dans des cas spéciaux, 

 on parvient pourtant a déterminer si une integrale de la forme 

 (9) existe ou non, en considérant les équations (13) de la 

 page 90. Dans le cas par exemple ou tous les xp^ sont nuls, 

 pourvu que j' > 2, on aura 



dz, , , . 



dz^ 



a -\- h ■\- 1 dzy 



du 





a 



4- 



b 





"' du 



dz^ 

 du 



a 



+ 

 a 



h 



T 



+ 



2 



z^ 

 ^'du 



(14) 



On pourra donc satisfaire a ces équations par les fonctions 

 suivantes: 



__a + b + Izl 



^2 - a + ^ '2 



_ (a + b + l)(a + b + 2) zl 

 ^^~ (a + bf ' |3 • 



Les fonctions Zy seront alors des fonctions de la classe v, et 

 Ton sait par conséquent qu'une integrale de la forme (9) existe. 

 Elle est, en outre, facile a déterminer, car la serie 



^a + 6 ^ QO'rb + l^^ 4. . _ 4. qa + b + vzy + . . . 



peut a l'aide des équations que nous venons d'etablir, s'ecrire 



" hy 



ce qui n'est autre chose que le développement de la fonction 



ia + 6 



+ ? a + b ^« + ^) + ? (a + by 12 ^ 



1 



a + b 



-ia + b) 



Comme tous les t//,, sont nuls identiquement pour v > 2, il 

 s'en suit que 7'= O, et que S ne contient que des termes de la 



