98 BENDIXSON, ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE LINÉAIRE. 



Si k=\= 2 Véquation différentielle na évidemment pas cCin- 

 tégrale generale qui est une fonction rationnelle de x et y. 



Si, au contraire, Ä = 2 et h est un nombre rationnel, Vin- 

 tégrnle generale de Véquation est une fonction rationnelle de x 

 et y. 



L'equation (18) peut en efFet s'ecrire 



,(a + 6MA-l) 



/i 1 -ta+b)v 



1 i — qT = const. 



k 



En donnant å v une valeur entiére suffisarament grande, 

 vQi — 1) sera un nombre entier, ce qui met en évidence que le 

 membre gauche est une fonction rationnelle de x et y. 



Dans le cas suivant on peut enfin aussi déterminer Tinté- 

 grale generale: 



Si T=0 , Ä = 1/^2 + ?^3 + • • • + ?""^»/^n 

 en supposant en outre que 



dV 



— = ip^, 1/^3 = a, Vyj^ , ... 1/;;, = av_2 F»'-2 . 1^2 . • • • 



Oj, ..., a«_2 désignant des constantes arbitraires. 

 L'equation 



^ = - [e' V'2 + Q'^^ + . . . + Q-xpn] 

 pourra alors s'ecrire 



^=-qII + a,QV+ ... + a„_2^— 2F"-2]. 



En mettant qV = z on aura 



1 dg _ 1 + a^z + a^z"^ + . . . + an-^z"'"'^ 

 Q dz~ 1 — 41 + ajS + ... + a„_22:"-2) 



dont rintégrale s'obtient par quadrature. On voit en outre que 

 rintégraie generale ne sera pas une fonction rationnelle, sauf dans 

 quelques cas exceptionnels. 



Avant de finir, je veux encore observer que dans le cas ou 

 a + ft>2, et rintégrale generale de l'equation (1) est de la forme 



