102 KOCH, THÉORÉMES CONCERjSTANT LES FRACTIONS CONTINUES. 



converge ahsolunient, il faut et il suffd que la serie 

 (1) 1«,^, I + \a,J^\ + \a^ß^\ + ... 



soit convergente. 



En effet, la serie (1) étant supposée convergente, le produit 

 P=n^.(l — ayßy) converge absolument et se développe en 

 une serie .3 absolument convergente. Or on voit facilement que 

 tous les termes du développement de J se retrouvent dans .3, 

 ce qui prouve bien que le développement de ./ converge aussi 

 absolument. Donc la condition énoncée est süffisante. 



Supposons au contraire que la serie (1) soit divergente, 

 ou, ce qui revient au méme, que la serie ^yUyßy ne converge 

 pas absolument. Puisque tous les termes de cette derniére serie 

 se retrouvent (changés de signe) dans le développement de J, 

 il est clair que ce développement ne peut non plus étre absolu- 

 ment convergent. Donc la condition dont il s'agit est aussi 

 nécessaire. 



Lemme 2. Si les Ui et ßi sont des fonctions analytiques 

 d'un nomhre quelconque de variables indépendantes x^^ ..., Xjc, 

 holomorphes dans un dornain continii 7", si la serie (1) converge 

 uniformément dans T, le déterminant infini /i représente une 

 fonction analytique de a?j , ..., ^a-, holomorphe dans T. 



En eflfet, des hypothéses faites on conclut que le développe- 

 ment 2 converge uniformément dans T\ donc, a fortiori, le dé- 

 veloppement de J converge aussi uniformément dans le méme 

 domaine. Donc, d'apres un théoréme de M. Weierstrass, J 

 représente une fonction analytique holomorphe dans 1\ 



c. q. f. d. 



Lemme 8. Désignons par z/^"^ le mineur obtenu en siippri- 

 mant dans J les n premieres lignes et les n premieres colonnes 

 et supposons remplies les conditions du lemme 2: quand n croit 

 iiidéfiniment, le déterminant ^("^ s'approche indéfiniment et uni- 

 formément de Vunité. 



