104 KOCH, THÉORÉMES CONCERNANT LES FRACTIONS CONTINÜES. 



Supposant d'abord que tous les /.li soient différents de zéro, on 

 peut diviser le numérateur et le dénoniinateur par jUjjUj . . ■ fXp 

 ce qui donne 



TP —h. €jl 



dp désignant le déterminant forme par les p premieres lignes 

 et les p premieres colonnes de la matrice 

 1 



(3) 



et J' j, ce que devient Jj, quand on y supprime la premiere 

 ligne et la premiere colonne. 



D'apres le lerame 1, pour que le déterminant de la matrice 

 (3) converge absolument, il faut et il suffit que la serie 



1 



A'l 











. . 



l. 





1 









1 









. . 



^'2 



L 



^2 



1 









^ 



^'3 



1 



A'3 



. . 



(4) 





+ 



^3 



+ 





+ . . . 



soit convergente. Supposons cette condition remplie; alors Jp 

 et zf'p tendront (pour p = co) vers des jimites bien déterminées 

 J et J'. Donc la limite de Fp (pour p =^ co) est une quantité- 

 finie et déterminée, pourvu que J ne soit pas nul Donc: 



Theoreme 1. Pour que la fraction continue (2) soit con- 

 vergente, il suffit que la serie (1) soit convergente et que le 

 déterniivant J ne soit pas nul. 



II y a un cas oü l'on voit facilement que J ne peut pas 

 étre nul. En efFet, désignant par 5 la somme de la serie (4) 

 et posant 



(Pi 



^h 



cp, 



llv-^l^v 



(V = 2 , 3 , . . .) 



on a 



n(i + k.i)<i + | + ^ + ... 



