ÖPVBRSIGT AF K. VETBNSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1895, N:0 2. 105 

 et par suite: 



0(1 + \(fr\)-l<e'-l 



d'ou 



I / — 1 1 <; e-^ — 1 , 



le signe = étant exclu sauf dans le cas ou tous les q)y = O 

 Donc, pourvu que /S<log2, on a, \ J — 1 j < 1. Donc, dans 

 ce cas, J ne peut certaineinent pas étre nul. Donc: 



Theoreme 2. Pour que le déterminant É ne soit pas nul, 

 il suffit que la somine S de la serie (4) soit inférieure ou 

 égale ä 



log 2 = 0,69314718 . . 



On en conclut que la fraction (2) est certainement conver- 

 gente quand on a aS < log 2. ') 



Considérons maintenant les Xi et i.ii comme fonctions des 

 variables indépendantes w^, x^, ..., Xi;. Posons 



— = 'Pii^i ■ • ^^k) , ' — = qp^^i • . . ^i) (»' = 2, 3, . . .) . 



Soit T un domaine continu quelconque dans lequel les fonctions 

 (fy sont définies comme des fonctions analytiques holomorphes. 

 Supposons de plus que la serie (4) converge uniformément dans 

 T. D'apres le lemme 2, les déterminants infinis J et J' seront 

 des fonctions analytiques, holomorphes dans T. Donc: 



Theoreme 3. Dans tout le domaine T, la f7'action continue 

 (2) représente une.fonction analytique méromorphe de a;^ . . . x^, 

 qui -peut sexprimer par le quotient de deux fonctions cp^J' et J 

 holomorphes dans T. 



Soit Tj un domaine continu situé tout entier en dedans de 

 T et tel que, pour tous les points de J\ , la serie S ait une 

 valeur ^ log 2. D'apres le théoreme 2, le déterminant J ne 

 peut alors s'annuler pour aucun point appartenant å jT, . Donc: 



^) Dans une note qui va étre publiée bientöt, je déraontrerai qu'il suffit méme 

 de supposer S <C 1 pour étre assuré de la convergence de la fraction (2). 

 Öfvers. af K. Vet.-Akad. Förh. 1895. Arg. 52. N:o 2. 4 



