108 KOCH, THÉORÉMES CONCERNANT LES FRACTIONS CONTINUES. 



et 



Tp{v+2) ^v+2 



" + ? ~ ^y+2 + K + 3. 



l-h + S + . • . + ^v+p 



f-^V + Q 



En désignant comme plus haut par Jp le déterniinant 

 forme par les p premieres lignes et les p premieres colonnes de 

 la matrice (o) et par ./^^ {q < p) ce que devient Jp quand on 

 y supprime les q premieres lignes et les q premieres colonnes, 

 cette formule (5) prendra la forme 



^ v+p -^ V — V ' -Lj 



OÜ 



(.1^ (.l^i.1^ ' ■ ■ ^r^ly+i Jvi^^v^X + ^^117) 



. (y+2) Av+2 v+Q 



y^v + p ,, ,#/ .o ^('' + 2)* 



D'apres le lemme 3, chacun des déterminants j^^^^^ et j'^!'^'^^ 



t ' V+p V+Q 



tend indéfiniment vers Vunité pour les valeurs croissantes de v, 



et cela quelque seit ^; donc, puisqiie — — tend vers zéro, 



l'expression yj'^1'^^ tendra également vers zéro. Or, le déternii- 

 nant J n'etant pas nul, il y aura un nombre positif (5 > O tel 

 que Ton ait 



des que v sera suffisamment grand. 



Donc on peut trouver un nombre positif K et un nombre 

 positif entier v tel que Ton ait 



(6) |i.^ ir,,|<|Ü...J2:±l_ K 



des que v'^v' et quel que soit q. Donc, si Ton désigne par F 

 la valeur de la fraction continue (2), la valeur absolue de la 

 difference F — Fy sera certaineraent inférieure å 

 Aj A2 "v+i 



des que v ^ v'. 



K 



