110 KOCH, THÉORÉMES CONCERNANT LES PRACTIONS CONTINUES. 



dans le cas oü ^24 = a^k, Äo^+i = agt+i^, les a designant des 



nombres réels et positifs et z une variable coraplexe. 



P (z) 

 Designant par J" ' la n^^"^^ réduite de la fraction (8), 



Stieltjes a démontré que, si la serie ^a-y est convergente, on a, 

 pour toute valeur finie de z, 



lim P2n(z) =p{z) 



lim Q2n{z) = q{z) 



lim P2„ + i{z) =Pi{z) 



lim Q2n+i(z) = qi{z) , 



p(z), q{z), Pi(z), qi{z) étant des fonctions holomorphes dans tout 

 le plan qui satisfont a la relation 



Il en résulte que les réduites d'ordre pair tendent vers une limite 



viz) , T) ( Z^ 



^~~ et les réduites d'ordre impair vers une limite — W mais ces 

 9(^) ^ qii^) 



limites sont nécessairement distinctes l'une de l'autre. 



Je me propose de généraliser ce resultat au cas general oii 

 les hi sont des fonctions analytiques quelconques d'un nombre 

 quelconque de variables indépendantes ^j, x^, ..., .r^-. 



Theoreme 5. Si /ij , ^2 » • • • ^^^^ ^^^ fonctions analytiques 

 cVun nombre quelconque de variables .^'^ , x^, ..., x^ qui sont 

 holomorphes dans un domaine donné U, si la serie ^y | hy \ con- 



verge uniformément dans ce domaine^ si -."^ 1 ' • ' — ^ désigne la 



^n\^\ • • • '^k) 



^léme réduite de la fraction continue (8), on a, pour tous les 



points c^j . . . Xk de U, 



lim P2n{^'Ci • . . xt) = p{x^ . . . Xk) 

 lim Q2m("^i • • . ^^'i) = gC^'i . • . ^/i) 

 lim P2n+i{a^ . . . Xk) = Pi{x^ . . . jjk) 

 lim Q2«+iGt'i • • • a^i) = q^{x\ . . . x^) , 



P) q^ P\ 7 7i ) designant des fonctions holomorphes dans U qui 

 satisfont ä la relation 



q{x^ . . . Xi)pi{xi . . . Xk) — qi{x^ . . . Xk)p{x^ . . . .rx) = 1 . 



