112 KOCH, THÉORÉMES CONCERNANT LES FRACTIONS CONTINUES. 



Puisque la serie ^|/i2| est supposée uniforraément convergente 

 dans le doraaine U, on peut faire correspondre å tout nombre 

 positif donné e un q' tel que le second merabre de (11) soit 

 raoindre que e des que q^q et cela pour tout le doraaine U 

 et quel que soit j^; on a donc a fortiori'. 



I Q^+'iv — Q^ I S * • 



Mais de la on conclut que la fonction Q<in{^\ ■ ■ ■ -f^k) tend uni- 

 forméraent (pour n — + co) vers une limite q{x^ . . . Xk) et de 

 merne que Q2n+i('^i • • • ^k) tend uniforraément (pour w = + oo) 

 vers une liraite g'i(A'i • . . ^k)- Ces limites pouvant étre repré- 

 sentées par des series: 



+ 00 



q{x^ . . . Xk) ^ 1 +^(Q2()+2 — Q-2q) 



+ oo 



g^{x^ . . , Xn-) = ^(^2^+1 — Q-i^ - 1) 



qui convergent uniforménent dans U, on voit que Q et Q, re- 

 presentant des fonctions holomorphes dans U. 



Puisque les Px satisfont a des formules de récursion de la 

 méme forme: 



P^ = h^P^^, + P^^, (Po = 0, P_i = l) (^ = 1,£..) 



on arrive au resultat que P2m("^-i • • • <^i) et P2ra+i('^i • • • ^k) tendent 

 respectiveraent vers certaines limites p{x^ . . . x^) et Pi(^i . . . ^k) 



qui se représentent par des series: 



+ 00 



+ 00 

 p/.«, . . . ^i) = 1 + ^(P2^ + l — P2^ - 1) , 



? = o 

 uniforraément convergentes dans U. 



Vu que Q2«, P2n, Qin+i, P'2n+\ sout Hées par Tidentité 



Q2nP2ra + l Qin + lP^n = 1 



il est clair que leurs limites q, p, q^, Pi y satisfont également: 



mh — 9iP = 1 • 

 Le théoréme est donc démontré. 



