218 KOBB, SUK LE CALCUL DES SOLUTION PÉRIODIQUES. 



F^ est une fontion périodique des y avec la periode 27r. 



Apres la Substitution h\ devient 

 F] =^i4 sin {m^n^t + m^w^ + m.^Co^ + m^Co^ + /i) 



c'est-a-dire une fonction périodique de t avec la periode T. 

 et /i dépendent des x^ . . . x^. Pour que a'J . . . ^i?^ et ^^ . , 

 soient des fonctions périodiques du tenips, il faut et il suffit que 

 les valeurs moyennes des seconds membres soient nuUes. Soit 

 R la valeur moyenne de F^ 



1 



^4 



[F,] = R = ^fF, 



dt 



(6) 



on aura 







dE 



diür 



dF, 



L.d^h 



dR 



dF, 



dR 



dx' 



(7) 



(' = 2, 3, 4. 



Ainsi il taut que x.^ x^ 10^ lo^ w^ soient choisies tel les que 



dJR^ 



dxl 



dR 



m 





dR 



dio. 



(8) 



.g ax'^ t^i"2 '^"-"3 "^^"4 



Mais, cela est d'apres M. Poincaré la condition nécessaire 

 pour l'existence d'une Solution périodique. II a aussi montré 

 qu'il existe des Solution coinmunes de ces équations. ^) 



Les conditions (8) reinplies, les Solutions des équations (5) 

 deviennent 

 .< = ^(0 + C\ ; y\ = ril\t) + k\y\ = n\{t) + K (9) 



oü les ^ et les tj sont des fonctions périodiques du temps avec 

 la periode T, qui s'annuUent pour t = 0. Les C^ et k], A;^ sont 

 des constants d'integration, que nous allons déterminer. 



Considérons, maintenant, les deux équations, qui nous don- 

 neront y^^ et yl. 



') Tome I, pag. 139. 



