.. B"^ 



2 ^„ 





B[ B^ 



6 — „ .- 



-T^F^ . 



/> = 





3^ 



9 





27 ^2 



226 FRANSEN, ANMÄRKNINGAR OM EN DIPFERENTIALBQVATION. 



Detta är ekvation (3), om man sätter 



A= — \, B :=0, C = 0, I) = 0, E = 0, F= — \. 



Men det är endast i Mittag-Lefflers fjerde fall, *) som E får 

 vara noll, då A icke är noll, och der tillkomma vilkoren 



av vilka det förra här icke är uppfyldt. Således måste vi nöja 

 oss med det negativa resultatet, att den sökta funktionen icke 

 för m = 2 eller m = 3 är »skenbart entydig», 2) derför ännu 

 mindre verkligt entydig eller av rationel karakter. I sammanhang 

 härmed kan nämnas, att, såsom Petrini påpekat, m — 5 är ett 

 integrabelt fall, i vilket y^ uttryckes rationelt genom en p- 

 funktion. 



3. Jag skall nu framställa min integrationsmetod. Låt 

 oss betrakta en ganska allmän form för differentialekvationer av 

 andra ordningen 



y" + {^J' + acp(y) + b}cpXy) = 0, (5) 



der (p betecknar en godtycklig funktionsform, a och b god- 

 tyckliga konstanter. Denna ekvation kan alltid integreras en 

 gång. Ty då 



har man en ekvation av första ordningen mellan ?/' och y. I 

 denna äro variablerna icke skilda; men om man i stället för y 

 inför en ny variabel u genom Substitutionen 



aq){y) + 6 = Ju — ^l , (6) 



får man en ekvation mellan y' och u, i vilken variablerna kunna 

 skiljas. Denna ekvation, som således kan omedelbart integreras, 

 lyder 



') Acta mathematica, t. 18, p. 240—242. 



^) Ofversättning av Picards term: »å apparence uniformei», som i Acta ma- 

 thematica, t. 17, p. 298 förklaras och användes såsom motsättning till 

 »réellement uniforme». Jfr Journal de math., loc. cit., p. 139, 278, 291. Att 

 den sölctii funktionen icke för m ]> 3 är entydig, följer av loc. cit., p. 278. 



