228 FRANSEN, ANMÄRKNINGxlR OM EN DIFFERENTIALBQVATION. 



Derför 



y=rp-^{y'iu-^j)^ (7) 



der ■xp-'^ betecknar den inversa funktionen till xp. Insätt här 

 y' enligt 1), 2) eller 3), sä fäs y såsom funktion av u och Cj . 

 Derför 



cZa' = -T = — , -^ du -= f{u, 6',) du 

 y y du ''^ ^ 



och 



\^]du +6-2 (8) 



y du] 



Den allmänna integralen till (5) är den relation mellan x och 

 y, innehållande konstanterna Cj och 62, som enligt (7) och (8) 

 förmedlas genom jelpvariabeln u^ sedan y' blivit ersatt med den 

 funktion av a och Cj , som angives i 1), 2) eller 3). I fallet 

 4) få vi på analogt sätt 



y = (p-^{b log {y' + h) — y' + Cl) 

 och 



J&l)*'-^^- 



der således y' sjelv ingår såsom jelpvariabel, motsvarande u i 

 de föregående fallen. 



5. Det är även möjligt att bestämma a och b så, att 

 integrationen kan fortsättas. Då behöver således ip{y) eller 

 (p{y) icke nödvändigt vara inversibel. Det första och viktigaste 

 fallet inträffar vid sådana a-värden, att man vid 2) i § 3 får 

 en algebraisk ekvation mellan y' och </^ således en ekvation av 

 formen 



{r — ly' + 'iripY'' = cj^r + 1 ?/' + ^rif^iY , . . . . (9) 

 der f.1 och v äro hela tal, noll uteslutet. Vi låta (9) vara bräkt 

 till irreduktibel form, så att (x och v icke hava någon gemensam 

 heltalsfaktor, annan än + 1. Vidare göra vi fx > 0. Deremot 

 kan v^Q. Då fås 



v r — 1 



