230 FRANSEN, ANMÄRKNINGAR OM EN DIPFERENTIALEQVATION. 



Derför 



ip{y) = a(f){y) + 6 = Rn+\{y , « , ^) • 



Således är xpi^y) här en hel rationel funktion av graden ^ + 1 

 och får anses vara inversibel, ehuru y icke kan uttryckas genom 

 radikaler, då w > 3. Följaktligen få a och h väljas efter behag. 

 Genom att fullfölja jemförelsen mellan (2) och (5) får man 



Rm{y) = cpWipii/) ^ Rn{y)Rn+\{y , a, b), 

 eller 



Rm{y) = R^n+iiy , « , ^) • 



För att denna likhet skall bestå identiskt, måste, då a icke är 

 noll, m = 2n + 1, varken mer eller mindre; och om m = 2w + l, 

 sönderfaller likheten i 2n + 2 algebraiska ekvationer mellan de 

 givna koefficienterna i En och i?^. Men de godtyckliga kon- 

 stanterna a och b, som även ingå i dessa ekvationer, kunna 

 tydligen alltid bestämmas så, att två ekvationer satisfieras. 

 Derför blir det nödvändiga antalet relationer mellan koeffici- 

 enterna i jRn och Em icke 2n + 2, utan endast 2n. Formen 

 (2) har då specialiserats till (1). Om vi deremot låta a = O, 

 få vi ip{y) = b och 



Rm(y) = bEn{y) . 



Derför m = n och, sedan b valts på lämpligt sätt, n relationer 

 mellan de 2{n + 1) koefficienterna. För a = O, b = O veta vi, 

 att <p{y) är godtycklig; således här En godtycklig, men jR^ = 0. 

 7. För vissa ekvationer av typen (1) måste det inträffa, 

 att a får den i § 5 angifna formen 



" = urhr'- • • ■ '■''^ 



der f.1 är ett godtyckligt positivt heltal och v ett positivt eller 

 negativt heltal, som icke har någon heltalsfaktor gemensam med 

 jx. Vi urskilja två olika fall: 



I) »'>0. 

 Då måste 



(^>v^l, a>0, r>l. 



