232 FRANSEN, ANMÄRKNINGAR OM EN DIFPERENTIALEQVATION. 



+ (- 1)^-1 i.i(Q - ^0 + (- iy-\i^ - 1) ^ 



g, _ i(y) =. i.i{Q - !.i) Äe - i[(- 1)« + (- ir - >] = O , 



8. Till dessa formler torde det vara lämpligt att foga 

 några korta anmärkningar, som utgöra en omedelbar tillämpning 

 av Briot et BüüQUETS undersökningar. I fallet I) kan integral- 

 funktionen aldrig någonsin vara en dubbelperiodisk funktion. 

 Ty om 1/ vore en dubbelperiodisk funktion av x, skulle det 

 visserligen mellan y/ och i/' bestå en algebraisk ekvation av 

 formen (11*); men i denna ekvation skulle identiskt ') 



A-i(.y) = o. 



Men nu är 



/^_i(y) = ^vR—\R(— - g') , 



och det är omöjligt att göra detta till noll genom bestämning 

 av (M, v, n, c' eller konstanterna i i^(?/), eftersom det antages, att 



f t > j' > 1 , 



och R{^) alltid innehåller !/. En sådan slutledning kan icke 

 göras i fallet II); ty i ekvationen (12*) ha vi just identiskt 



5'(.-i(j/) = 0. 



Låt oss vidare tillse, om y i något fall kan vara en entydig 



funktion av w. Ett nödvändigt vilkor härför är, att den hela 



rationela funktionen /;.(?/) eller gx(^) icke är av högre grad än 



21. ^) Men nu är f;i{y) av graden l(n + 1) och i allmänhet 



även (7a(;^) av graden l{n + 1). Således fordras för entydighet, 



att 



X{n + 1) < 21 , 



') Briot et Bouquet, loc. cit., ii:o 181, p. 278. 

 ^) Briot et Bouöuet, loc. cit., théoréme I, p. 381. 



