ÖFVERSIUT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1895, N:0 4. 233 



eller 



n<l. 



Det är således endast i formen (3), som vi ha att söka entydiga 

 integraler, i det fall, som vi nu betrakta, då a har formen (10). 

 Men vidare kan // icke vara entydig i fallet I), om (11*) är av 

 högre grad än 3 med avseende på t/'. Ty vore /.t > 3, skulle 

 ju den entydiga integralfunktionen vara dubbelperiodisk,^) vilket 

 strider mot det föregående. Ett nödvändigt vilkor för entydighet 

 är således « < 3, d. v. s. antingen // == 3, v ^= 2, « = 2^' *' = 5, 

 eller jtt = 3, v = 1, a == y6, *' ~ ^' ^'^®*' i^* = 2) ^ = 1? ^* = I? 

 r = 3. Och vore ^ entydig i dessa tre fall, skulle den antingen 

 vara en rationel funktion eller en enkelperiodisk funktion, -) 

 eftersom dubbel periodicitet även här är omöjlig. Det skall 

 visa sig, att endast fallet ,« = 2 tillåter en entydig integral, 

 och den är enkelperiodisk. 



9. Den kalkyl, som i det föregående endast blivit antydd 

 för det allmänna fallet (1), skall nu i detalj utföras för special- 

 fallet (3), då n = 1. Enligt anvisningen i § 6 bestämma vi först 



Derför 



ip{^) = acpiy) + 6 = — a(i Ey'' ^ Fy) + b . 



Sedan skall 



¥{y) ^^{y) = Uy) = - (>V + By-^- + Cy + b), 



således 



(Ey + F) Il Ey^- + Fay — b\ + Ay^ + By"" + Cy + D = 0. 



Detta blir en identitet, om 



A = —^E'', B=^~laEF, C=^hE—aF\ D^bF. 



Vore nu E noll, skulle även A och B vara noll, således (3) 

 urarta till linear ekvation. Då således E icke är noll, kunna 

 vi bestämma a och b enligt den första och tredje ekvationen, 



') Beiot et BouauET, loc. cit., n:o 258, p. 411. 

 ^) Briot et BouauKT, loc. cit. théoréme II, p. 387. 



