234 FRANSEN, ANMÄRKNINGAR OM EN DIFFERENTIALEQVATION. 



varefter den andra och fjerde övergå till de redan angivna in- 

 tegrationsvilkoren (4). Nu är det ju så, att de ekvationer vi 

 betrakta, således typen (2), icke ändra karakter vid lineära 

 substitutioner i variablerna. Man bör derför lämpligen genom 

 sådana substitutioner förenkla ekvationernas form. Men just 

 derför, att ekvationens karakter icke ändras, kan man icke 

 vänta någon förenkling i sak, t. ex. någon minskning av inte- 

 grationsvilkorens antal, genom sådana substitutioner. Detta be- 

 kräftas här i fallet n =■ 1. Ty låt 



a; = at, ij^ ßz + y, (13) 



så fäs en ny ekvation av samma slag som (3), nemligen 



z" = A'z^ + Bz"" + C'z + D' + {E'z + F') z' , . . (14) 

 der 



A' = Aa^ß"^ , E' = Eaß , 



B' = {B -^ ?>Ay) a^ß , F' = {F + Ey)a . 



C = {C + 2By ^ 3Ay^) a^ , 



I)' = {D + Cy + By-' + Ay^)j, 



Då varken a, ß eller E kunna vara noll, är icke heller E' noll. 

 Integrationsvilkoren för (14) bli 



och vid insättning befinnes detta leda just till vilkoren (4), som 

 således äro invarianta vid lineära substitutioner. Likaså befinnes 

 a vara invariant, i det att 



a = -2^,= -2-p. 



Detta kunde man också förutse, eftersom integralen antager 

 olika form för olika a-värden (enligt § 3). Men b är icke 

 invariant. Den största möjliga förenkling i ekvationens form, 

 som kan åstadkommas genom bestämning av j/, inträder, då 

 man låter 



^~ E~ 3^ ■ 



