238 FRANSEN, ANMÄRKNINGAR OM EN DIFFERENTIALEQVATION. 



11. Enligt Mittag-Lefflers framställning i Acta mathe- 

 matica, tome 18, p. 235 — 245, kan man urskilja sju fall, i 

 vilka integralfunktionen till (3) är skenbart entydig, varvid det 

 fSr övrigt visar sig, att den också är verkligt entydig och av 

 rationel karakter. Låt oss tillse, om vilkoren (4) äro förenliga 

 med vilkoren i något av dessa sju fall! I det första fallet (p. 

 235—238) ävensom i det fjerde (p. 240—242) är ^ = O, vilket 

 vid (4) är uteslutet (§ 9). I det tredje fallet (p. 239—240) 

 förekomma två vilkor: 



^ = 0, C = ^^^ + ^^F. 



Detta överensstämmer med (4) endast i fallet 



A^O, B = 0, C=0, i> = 0, 

 således fallet 6) i § 10. I det femte fallet (p. 242—245), (/') 

 förekomma tre vilkor: 



A = E^, B = SEF, I) = {C—2F^)^. 



Detta är jemt upp det specialfall av (4), som fås för a = — 2, 

 således r = ^. I sjette och sjunde fallen (p. 242 — 245), (/") 

 och (/'") förekomma tre vilkor och deribland även Ä = E^. 

 Då nu (4) under detta antagande fullständigt sammanfaller med 

 det femte fallet, kan ingen överensstämmelse finnas med det 

 sjette eller sjunde. Ännu återstår det andra fallet (p. 238 — 

 239). Här förekomma endast två vilkor: 



^=— i^S B = —^EF. 

 Om det första införes i (4), fås det andra och dessutom ett 

 tredje vilkor 



I) = iC + IF^)^. 



Mitt specialfall a = |, således r = 3, är följaktligen inneslutet 

 i Mittag-Lefflers andra fall. Resultatet av denna jemförelse 

 blir, att integralen till den ekvation (3), vars koefficienter satis- 

 fiera vilkoren (4), är entydig endast i de tre fallen 

 a = 0, C = 0; a = — 2; a = f . 



