240 FRANSEN, ANMÄRKNINGAR OM EN DIFFERENTIALEQVATION. 



och 



_ {c + l)e^ — (c — l)e- ^ 

 ^ " (e + 1)&' + (c — l)e- ^ — 2c " 



Till samma resultat kommer man med mindre besvär enligt 

 den metod, som angivits av Mittag-Leffler för detta fall. 

 utbytande c mot 2c kunna vi teckna 



_ (e^ + e- ^) + 2c(e^ — e- ^) 

 ^ ~ (e^ — e- ^■) + 2c(é^ + e- ^ — 2) ' 



Det finnes två grupper av rörliga poler, svarande mot de båda 

 integrationskonstanterna t^^ och c. Den första gruppen fås ur 

 ekvationen e^ = 1, med serieutvecklingen ^) 



■y =1+0 + il- C^)X + C{C^ - 1)^-2 + (1 6-2 - C* - ii)X^ + 



+ <^-^-Ä«' + Ä>'' + .... 

 Den andra gruppen fås ur ekvationen 



c — 1 



. ^^ = 7TT' 



med samma serieutveckling för — y som förut för + y, om x 



c 1 



utbytes mot x — log . I ^-planet äro de båda grupperna 



t = t^ + log {c + 1) 

 och 



t = h + log (^' — 1) • 



12. Låt sedan a = — 2, så fås /' = i, — = — 2, således 



^ y 



^^ = 2, v = —1 enligt II) i § 7. Derför enligt (12) 



{2y' + R){y'-Ry = c' = c,%K 

 Den förenklade differentialekvationen är 



och 



Vid utveckling enligt (12*) fås 



%j'^ — ZRy"' + m = c'. 



') Konstanterna t^ och c äro införda så, att denna utveckling antager enklaste 

 möjliga form. 



