342 AVIGERT, SUR LES NOMBRES PREMIERS. 



tion fix) qui s'annuUe pour les nombres premiers, mais qui ne 

 possede en outre des zéros réels, le norabre N serait donné par 

 la formule 



Tintégrale étant prise le long d'un contour renfermant la partie 

 en question de Taxe réel et assez étroit pour qu'il n'y en ait 

 pas de zéros complexes. Une teile fonction peut s'obtenir d'une 

 maniére tres simple å l'aide de la fonction r{ic). Soit en efFet 

 F(ii') la fonction Eulérienne définie par la formule 



r{x) 



e-p 



vflil + -]e '^ 



y étant la constante dite d'Euler. Puisque nous avons pour les 

 valeurs entiéres de a; 



r{m) = \m — 1 , 



le théoréme connu de Wilson sur les nombres premiers fait 

 voir que la fonction 



"1 + r(xy 



sm 7T 



s'annulie pour les nombres premiers et qu'elle est difFérente de 

 zéro quand x a une autre valeur entiére. Mais excepté les 

 nombres premiers, il y a d'autres zéros réels non entiers dont 

 il faut nous affranchir, ce qui n'ofFre aucune difficulté. Posons 

 en effet 



"1 + r{x)- 



f(x) — sin 27r.^• + sin -^r 



il est clair, que pour les valeurs reelles de x, f{x) ne peut pas 

 s'annuller, si les deux termes ne s'annullent séparément, et 

 on voit immédiatement, que les nombres premiers sont les seuls 

 zéros réels de la fonction f{x). 



De cette fonction on pourrait déduire une autre en rem- 

 plagant r(x) par une fonction entiére y-'ix) vu que cette der- 

 niére soit aussi égale ä \m — 1 pour .c = m afin d'obtenir une 



